относительный экстремум, экстремум функции f (x₁,..., x_{n + m}) от п + т переменных в предположении, что эти переменные подчинены ещё т уравнениям связи (условиям):

φ_k (x₁,..., x_{n + m}) = 0, 1≤ k ≤ m (*)

(см. Экстремум). Точнее, функция f имеет У. э. в точке М, координаты которой удовлетворяют уравнениям (*), если её значение в точке М является наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями f в точках некоторой окрестности точки М, координаты которых удовлетворяют уравнениям (*). Геометрически в простейшем случае У. э. функции f (x, у) при условии φ(х, у) = 0 является наивысшей или наинизшей (по сравнению с близлежащими точками) точкой линии, лежащей на поверхности z = f (x, у) и проектирующейся на плоскость хОу в кривую φ(х, у) = 0. В точке У. э. линия φ(х, у) = 0 либо имеет особую точку, либо касается соответствующей линии уровня [см. Уровня линии (поверхности)] функции f (x, у). При некоторых дополнительных условиях на уравнения связи (*) разыскание У. э. функции f можно свести к разысканию обычного экстремума функции, выразив x_{1 + 1}.., x_{n + m} из уравнения (*) через x₁,..., x_n и подставив эти выражения в функцию f. Др. метод решения - Лагранжа метод множителей.

Задачи на У. э. возникают во многих вопросах геометрии (например, разыскание прямоугольника наименьшего периметра, имеющего заданную площадь), механики, экономики и т.д.

Многие задачи вариационного исчисления приводят к разысканию экстремумов функционалов при условии, что др. функционалы имеют заданное значение (см., например, Изопериметрические задачи) или же к задаче о разыскании экстремума функционала в классе функций, удовлетворяющих некоторым уравнениям связи, и т.д. Решение таких задач также проводится методом множителей Лагранжа. См. также Линейное программирование. Математическое программирование и лит. при этих статьях.

значение непрерывной функции f (x), являющееся или максимумом, или минимумом. Точнее: непрерывная в точке х₀ функция f (x) имеет в x₀ максимум (минимум), если существует окрестность (x₀ + δ, x₀ - δ) этой точки, содержащаяся в области определения f (x), и такая, что во всех точках этой окрестности выполняется неравенство f (x₀), ≥ f (x) [соответственно, f (x₀) ≤ f (x)]. Если при этом существует такая окрестность, что в ней f (x₀) > f (x) [или f (x₀) << f (x)] при х ≠ x₀, то говорят о строгом, или собственном, максимуме (минимуме), в противном случае - о нестрогом, или несобственном, максимуме (минимуме) (на рис. 1 в точке А достигается строгий максимум, в точке В - нестрогий минимум). Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Для того чтобы функция f (x) имела Э. в некоторой точке x₀, необходимо, чтобы она была непрерывна в x₀ и чтобы либо f`(x<sub>0</sub>) = 0 (точка А на рис. 1), либо f`(x₀) не существовала (точка С на рис. 1). Если при этом в некоторой окрестности точки x₀ производная f'(x) слева от x₀ положительна, а справа отрицательна, то f (x) имеет в x₀ максимум; если f'(x) слева от x₀ отрицательна, а справа положительна, то - минимум (первое достаточное условие Э.). Если же f'(x) не меняет знака при переходе через точку x₀, то функция f (x) не имеет Э. в точке x₀ (точки D, Е и F на рис. 1). Если f (x) в точке x₀ имеет п последовательных производных, причём f'(x₀) = f``(x₀) =...= f ^(n-1) (x₀)=0, a f ⁽ⁿ⁾(x₀)≠0, то при п нечётном f (x) не имеет Э. в точке x₀, а при п чётном имеет минимум, если f ⁽ⁿ⁾ (x₀) > 0, и максимум, если f ⁽ⁿ⁾ (x₀) < 0. Э. функции не следует смешивать с наибольшим и наименьшим значениями функции (См. Наибольшее и наименьшее значения функции).

Аналогично Э. функции одного переменного определяется Э. функции нескольких переменных. Необходимым условием Э. является в этом случае обращение в нуль или же несуществование частных производных первого порядка. Например, на рис. 2 частные производные равны нулю в точке М, на рис. 3 в точке М они не существуют. Если в некоторой окрестности точки М (х₀, y₀) существуют и непрерывны первые и вторые частные производные функции f (x, у) и в самой точке f'_x = f'_y = 0,

Δ = f'' _xx f'' _уу > 0,

то f (x, у) в точке М имеет Э. (максимум при f''_xx < 0 и минимум при f''_xx > 0); Э. в точке М не существует, если Δ < 0 (в этом случае М является т. н. седловиной, или точкой минимакса, см. рис. 4).

Достаточные условия Э. функций многих переменных сводятся к положительной (или отрицательной) определённости квадратичной формы

Σⁿ_{i, k=1} a_ikΔx_iΔx_k

где a_ik - значение f''x_ix_k в исследуемой точке. См. также Условный экстремум.

Термин "Э." употребляется также при изучении наибольших и наименьших значений функционалов в вариационном исчислении (См. Вариационное исчисление).

Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971.

Рис. 1. к ст. Экстремум.

Рис. 2. к ст. Экстремум.

Рис. 3. к ст. Экстремум.

Рис. 4. к ст. Экстремум.

Термин, который впервые был использован русским физиологом И.П.Павловым для описания приобретенного рефлекса, т.е. не являющегося (в отличии от безусловного рефлекса) врожденным, а потому свойственного отдельному индивиду, а не всем представителям данного вида (см. также РЕФЛЕКС). Когда на язык попадает лимонный сок, выделяется слюна - это безусловный рефлекс. Однако слюна может выделяться также при виде лимона или при звучании слова "лимон" - это условный рефлекс. Различие заключается в том, что вид лимона или звучание этого слова не всегда вызывают выделение слюны и вдобавок могут не оказывать воздействия на тех или иных людей. Подобные стимулы приобретают способность вызывать реакцию лишь после того, как предъявлялись более или менее одновременно со стимуляцией вкусовых рецепторов лимонным соком. Вид лимона или звучание слова "лимон" в этом случае оказываются условными (сигнальными) раздражителями, замещающими безусловный раздражитель - лимонный сок.

Методика Павлова. Для опыта, осуществленного Павловым, требовалась звукоизолированная комната, где можно было контролировать условия внешней среды, специально оборудованное место для животного и устройство для автоматической подачи пищи. По мере надобности могли предъявляться стимулы разной природы (звонки, вспышки света и т.п.). Посредством несложной хирургической операции Павлов выводил у собаки слюнный проток наружу, так что слюну можно было собирать и измерять ее количество. В типичном эксперименте умеренно голодную собаку несколько раз оставляли в звукоизолированной комнате, чтобы она привыкла к обстановке и не испытывала эмоционального напряжения. В этот период тщательно замерялось выделение слюны, которое обычно бывало незначительным. Затем предъявлялся стимул - включался звонок, что могло вызывать легкое усиление слюноотделения (как следствие открытого Павловым ориентировочного рефлекса), но после нескольких повторений собака обычно теряла к нему интерес. Далее начинался процесс выработки условного рефлекса. Звучал звонок, через несколько секунд в миску собаки падала еда. Пока собака ела, измеряли количество выделившейся слюны, а когда слюноотделение прекращалось, снова звенел звонок и появлялась пища. После нескольких таких сочетаний звонка и пищи проводился следующий эксперимент, в котором звонок не сопровождался появлением пищи. Сигнал, ранее нейтральный, теперь вызывал выраженное слюноотделение - срабатывал условный рефлекс. В подобной ситуации пища является безусловным стимулом, звонок - условным стимулом, или условным сигналом, а совместное появление пищи и звонка называется подкреплением. Само образование условных рефлексов обозначают термином "обусловливание".

Открытия Павлова. Павлову удалось показать, как возникает условный рефлекс в ответ на разнообразные сигналы и разные типы и условия подкрепления. Кроме того, он обнаружил, что в том случае, когда условный сигнал многократно предъявляется без подкрепления, происходит затухание рефлекса. При этом реакция ослабевает, часто становится нерегулярной, и в конце концов условный сигнал перестает действовать. Павлов показал также наличие поведенческих реакций, связанных с условнорефлекторными реакциями. Например, после того, как была выработана условнорефлекторная реакция слюноотделения на звук звонка определенной высоты, ее удавалось вызвать и звонком с другой высотой звука; в еще одном эксперименте слюноотделение вызывалось почесыванием не только определенного места на лапе, но и соседних участков. В каждом случае степень реакции на новый стимул зависела от того, насколько он был сходен с изначальным стимулом. Звонок, незначительно отличающийся по высоте, или почесывание места, близкого от первоначального, приводили к почти такому же слюноотделению, что и исходные сигналы; сильно отличающийся по высоте звонок или почесывание отдаленного участка вызывали отделение меньшего количества слюны. Как выяснилось, такой эффект, названный генерализацией, можно нейтрализовать, если подкреплять только изначальный сигнал, прекратив подкрепление остальных. В этом случае у животного развивается способность к различению: реакция в полной мере проявляется лишь на первоначальный условный сигнал, а на все другие бывает незначительной или вовсе отсутствует. Используя данную методику, Павлов получил возможность определять, каковы те минимальные изменения стимула, которые способна различить собака.

На основе своих опытов Павлов разработал несколько теорий работы коры головного мозга, в частности теорию возбуждения и торможения - состояний коры, характеризующихся повышенной и пониженной активностью. Он предположил, что торможение, разливаясь по коре, является причиной такого феномена, как затухание условного рефлекса. Павлов считал, что сон - это состояние, при котором торможение полностью захватывает кору головного мозга. Более поздние работы в области неврологии и психофизиологии показали, что работа коры намного сложнее, чем он предполагал (см. также ПАВЛОВ, ИВАН ПЕТРОВИЧ).

Современные представления. Павлов применял термин "условный рефлекс" к любым индивидуально приобретенным типам поведения. Понятие о сигнальном раздражителе, однако, не объясняет все виды научения. Термин "условный рефлекс" используется теперь в более узком значении, применительно к ситуациям, аналогичным исходным экспериментам Павлова, например к работе вегетативной нервной системы, управляющей деятельностью желез и гладкой мускулатуры. Признается также, что условные рефлексы широко представлены в эмоциональном поведении. Хорошо изучены условные рефлексы человека, возникающие на основе мигательного рефлекса, слюноотделения, потоотделения, сужения и расширения зрачков, сокращения и расслабления гладких мышц стенок кровеносных сосудов. Тем не менее существует значительная область приобретенного поведения, формирующегося на основе иных механизмов. Так, оказалось, что в отличие от условного рефлекса, при котором появлению реакции на условный сигнал всегда предшествует его подкрепление, у животного может сформироваться реакция, которая в прошлом подкреплялась после ее проявления (этот механизм получил название оперантного обусловливания). См. также БИХЕВИОРИЗМ
; НАУЧЕНИЕ
.